高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x∈A⇔x∈∁UA,x∈∁UA⇔x∈/A
2. 德摩根公式
∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB;∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB
3. 包含关系
A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA
⇔A∩∁UB=∅⇔∁UA∪B=R
4. 容斥原理
card(A∪B)=cardA+cardB−card(A∩B)
card(A∪B∪C)=cardA+cardB+cardC−card(A∩B)−card(A∩C)−card(B∩C)+card(A∩B∩C)
5. 集合子集个数公式
集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n−1个；非空子集有2n−1个；非空的真子集有2n−2个。
6. 二次函数的解析式的三种形式
(1) 一般式：f(x)=ax2+bx+c(a=0)
(2) 顶点式：f(x)=a(x−h)2+k(a=0)
(3) 零点式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a=0)
7. 解连不等式N的转化形式
N
⇔f(x)−2M+N<2M−N⇔M−f(x)f(x)−N>0
⇔f(x)−N1>M−N1
8. 方程实根的区间分布（一）
方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根，与f(k1)f(k2)<0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件。
特别地，方程ax2+bx+c=0(a=0)有且只有一个实根在(k1,k2)内，等价于f(k1)f(k2)<0，或f(k1)=0且k1<−2ab<2k1+k2，或f(k2)=0且2k1+k2<−2ab。
9. 闭区间上的二次函数的最值
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a=0)在闭区间[p,q]上的最值只能在x=−2ab处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1) 当a>0时：
- 若x=−2ab∈[p,q]，则f(x)min=f(−2ab)，f(x)max=max{f(p),f(q)}
- 若x=−2ab∈/[p,q]，则f(x)max=max{f(p),f(q)}，f(x)min=min{f(p),f(q)}
(2) 当a<0时：
- 若x=−2ab∈[p,q]，则f(x)min=min{f(p),f(q)}
- 若x=−2ab∈/[p,q]，则f(x)max=max{f(p),f(q)}，f(x)min=min{f(p),f(q)}
10. 一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)<0，则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一个实根。
设f(x)=x2+px+q，则：
(1) 方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)=0或{p2−4q≥0−2p>m；
(2) 方程f(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)<0或⎩⎨⎧f(m)>0f(n)>0p2−4q≥0m<−2p或{f(m)=0af(n)>0或{f(n)=0af(m)>0；
(3) 方程f(x)=0在区间(−∞,n)内有根的充要条件为f(m)<0或{p2−4q≥0−2p。
