函数（构造思想）
一、奇偶性
二、抽象表达式（赋值）
三、周期与对称
- f(x+a)=f(x+b) 得周期 ∣b−a∣ →f(x)=f(x+(b−a))
- f(x+a)=f(a−x) 对称轴 x=2x+a+a−x=a
- f(x)+f(2a−x)=2b 关于(a,b)中心对称
四、求最值
①基本不等式 ②函数不等式
五、解析几何图形上的点
①设 结合a2x2+b2y2=1 (a>b>0)
②求
{Ax+By+c=0a2x2+b2y2=1 (a>b>0)⇒Mx2+Nx+D=0
x1+x2=____
(前提) 有一个已知的图形上的点，求另一未知点
六、函数性质证明
f(x+y)=f(x)⋅f(y) f(x)=0 证明f(x)>0恒成立
令x=2t，y=2t ∴f(t)=f2(2t)>0 ∴f(x)>0
（借助平方！）
七、偶函数
f(x)=f(∣x∣)
八、圆上的点
<1> R2=d2+41l2
<2> ∣PM∣2=∣PO∣2−R2
九、单调性
f(x)在(a,b)上递增⇔f′(x)≥0对∀x∈(a,b)恒成立
十、切线方程
- 圆x2+y2=r2切线方程：x0x+y0y=r2
- 椭圆a2x2+b2y2=1切线方程：a2x0x+b2y0y=1
一、对应、映射、函数
非空集合 A、B，对于 A 中的任何一个元素，B 中都有唯一确定的元素与之对应，则称 A 为 B 的映射。
A={1,2,3,4} B={a,b,c}
A→B 3∗
B→A 4∗
（标注：1 对 1、多对 1）
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非空数集 A、B a,b,c∈R
A→B 集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y与之对应 y=f(x)
x y=f(x) 与之对应 y=f(x)与x=a（1 个或 0 个）
定义域 值域为 B（为 B 的子集）
分段函数是一个函数
二、函数定义域求法
1. 依据解析式求定义域
根式、分式、对数式、( )0 不为 0
2. 抽象函数求定义域（复合函数）
<1> 知函数定义域即知x的取值范围.
<2> 求函数定义域即求原始x的取值范围.
① f(x+1)为奇函数 f(−x+1)=−f(x+1)
② f(x)定义域为[1,5]，求f(x+1)定义域 [0,4]
∵f(x)定义域为[1,5] ∴1≤x+1≤5 ∴0≤x≤4
③ f(3−2x)定义域为[−1,2]，求f(x+2)定义域 [−3,3]
f(x)定义域为[−1,5] ∴−1≤x+2≤5 即−3≤x≤3
三、解析式的求法（带∃限制条件）
1. 换元法（换元带新元范围）
f(x+x1)=x2+x21 令t=x+x1∈(−∞,−2]∪[2,+∞)
则t2=x2+x21+2 ∴f(t)=t2−2
∴f(x)=x2−2，x∈(−∞,−2]∪[2,+∞)
f(x+x1)=x3+x31=(x+x1)(x2−1+x21)=(x+x1)[(x+x1)2−3]
2. 待定系数法
- 一般式：y=ax2+bx+c (a=0) 顶点式(−2ab,4a4ac−b2)
- 顶点式：y=a(x−h)2+b (a=0) S△=4a2Δ
- 交点式：y=a(x−x1)(x−x2) (a=0)
3. 方程组思想
<1> f(x)与f(−x) <2> f(x)与f(x1)
<3> 知f(x)与g(x)奇偶性 把不用… 替换
定义域为R的F(x)一定能表示为一个奇函数和一个偶函数之和.
